Humour et Mathématiques

23 août 2005

Le professeur Tardy trouve, par hasard, l'équation implicite de la quéquette

La " bitoïde de Tardy "

On notera l'extrême simplicité de cette équation implicite, de degré six. Il s'agit d'une découverte purement fortuite Tardy, en fait, s'est remis au travail pour essayer de trouver un Graal des mathématiques : une équation implicite de la surface de Boy enfin bien balancée. Cette surface fut découverte par Werner Boy, juste avant l'été 1902, à Göttingen. Jeune étudiant dans cette université il la montra au célèbrissime mathématicien Hilbert, qui se trouva fort intéressé et convint avec son élève de reconsidérer tout cela à la rentrée. Hélas, Boy disparut sans laisser de trace. Nul ne sait ce qu'il est devenu, ni ne connaît sa tombe. Certains avaient suggéré, dans le département de maths de Göttingen, pour lui rendre hommage, de créer une "tombe du mathématicien inconnu".

Le Palais de la Découverte exposa pendant un quart de siècle une représentation de cette surface, que j'avais inventée et dont j'avais par la suite trouvé, avec Jérôme Souriau, le fils du mathématicien Jean-Marie Souriau la première représentation paramétrique, qui figure à la dernière page du Topologicon.

Extrait de ma bande dessinée " le Topologicon "

En bas, le programme, écrit en BASIC, qui permit d'obtenir les premières images de synthèse de l'objet. C'est Colonna ( école Polytechnique ) qui se chargea de ce travail et toutes les images de synthèse de la Boy qu'on peut trouver de par le monde partent de ces équations paramétriques. L'objet est reconnaissable à trois vilains plis caractéristiques qui entourent le "pôle" et qui ne sont dûs qu'à des défauts d'ajustement des paramètres. Un jour, Tardy et moi nous nous occuperons de cette affaire de faux-plis, quand nous aurons une minute.

Quand le Palais décida de retirer cette surface de l'exposition je demandai à la récupérer et je la détiens désormais chez moi, dans une énorme caisse. On dirait un oeuf qu'on couve et elle intrigue beaucoup les visiteurs.

Là, Christophe reprend le problème de beaucoup plus haut. Apéry ( professeur en mathématiques supérieures, élève du mathématicien aveugle Bernard Morin ) a produit une équation implicite, c'est à dire du type :

f ( x , y , z ) = 0

Mais, mal conseillé par son patron Morin, il a pris l'axe oz comme axe de symétrie. Du coup l'équation est compliquée, peu esthétique. Corollaire : la surface obtenue a ... des oreilles de lapin. C'est la version "Roger Rabbit" de la Boy. Mais, hélas, c'est tout ce dont on dispose et c'est cette équation que vous trouverez dans les traités de mathémariques du monde entier. Pourtant il existe une équation infiniment plus simple. C'est une certitude. Pensez à l'équation de la somptueuse surface Romaine de Steiner :

x 2 y 2 + y 2 z 2+ z 2x 2 - 2 x y z = 0

dont on ne devinerait jamais la richesse. Ci-après, l'image obtenue par Tardy :

La surface romaine de Steiner, tracée avec Winplot. A l'origine, le point triple.
Sur les axes, les six points cuspidaux

Cette image a été composée avec l'excellent logiciel Winplot, créé par Richard Paris, de Poitiers, t
Téléchargeable gratuitement

Voir aussi   http://www.mathcurve.com/surfaces/romaine/romaine.shtml

La Boy doit pouvoir être décrite par une équation aussi simple, avec seulement quelques termes de plus. Elle est du sixième degré. Elle possède une symétrie ternaire, et il est donc indiqué de chercher une représentation où le vecteur ( 1 , 1 , 1 ) soit axe de symétrie, ce qui rendrait l'équation invariante en effectuant une permutation circulaire des variables x , y et z . De plus, si on met l'orgine des coordonnées au point triple et que les plans tangents en ce point soient orthogonaux, le terme de plus bas degré est précisément    x y z . ( L'équation implicite x y z = 0 représente trois plans se coupant à l'origine ).

Tardy cherche donc dans cette direction, en s'aidant d'un logiciel permettant de représenter les surfaces et leurs coupes. C'est en faisant l'une de celles-ci qu'il est fortuitement tombé sur l'équation du bitoïde, donnée ci-dessus, dont on appréciera la remarquable élégance et simplicité.


27 août 2005: Réécrire la Genèse

Cette découverte a suscité un certain émoi dans le monde des mathématiques, certains représentants féminins, étroitement liés au MLF, ayant vivement protesté. Mais comme une découverte peut en entraîner une autre, un chercheur américain, Kevin Fine, spécialiste en physique des plasmas, s'est intéressé à l'équation :

z ( y , y ) = x6 + y6 - x3 y2 - y3 x2

extension 3d du bitoïde de Tardy. Les images, obtenues par Matlab sont les suivantes :

La foufounoide de Kevin Fine

Autre vue de la Foufounoide de Kevin Fine

La courbe rouge ( tracé schématique ) représente l'intersection avec le plan z = 0.

On lit dans la Genèse que Dieu créa la femme à partir d'un élément emprunté à l'homme ( une de ses côtes ). Ceci suggère l'inverse étant donné que selon ce schéma, métaphorique bien sûr, l'homme serait une structure 2d, alors que la femme serait une structure 3d, le premier n'étant qu'un sous-ensemble ( l'intersection par le plan z = 0 ) de la seconde.

Voici la réaction de Kevin Fine en date du 28 août 2005 :

 

Dear Jean Pierre

I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."

Kevin

Traduction :

Cher Jean-Pierre,

Je suis honoré. Malheureusement je suis trop âgé pour une médaille Field ( j'ai 51 ans ). Ceci dit, cela reste un honneur que de voir son nom attaché à une courbe. Imaginez ma fierté que dans le futur un mathématicien puisse un jour dire " Excusez moi, mais ce que vous avez sous les yeux, c'est une superbe Foufounoïde ".

Kevin

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